Nom du programme Master en Mathématiques appliquées 

Intitulé du Master :    Mathématiques appliquées

Semestre :   S3        

Intitulé du la matière:   Théorie variationnelle  des équations elliptiques

Unité d’enseignement : Fondamentale

Crédits :       6

Coefficient : 3

Objectifs de l’enseignement

Cette matière permettra aux étudiants  d’acquérir  des  connaissances sur les problèmes elliptiques.

Connaissances préalables recommandées

Avoir acquis les matières d’analyse  de la licence mathématiques et master 1. 

Contenu de la matière :

I- Problèmes variationnels elliptiques abstraits

I.1- Quelques rappels sur les espaces de Hilbert

I.2- Théorème de Lax-Milgram

II- Problèmes elliptiques linéaires du second ordre

II.1- Quelques rappels sur les espaces de Sobolev et sur l’analyse vectoriel

II.2- Problèmes aux limites elliptiques du second ordre

II.3- Formulation variationnelle et notion de solution faible

II.4- Étude de quelques cas : problèmes de Dirichlet, problèmes de Neumann,

                    problèmes mêlés

III- Régularité des solutions faibles

                        III.1- Régularité à l’intérieur

III.2- Régularité sur la frontière

IV- Principe du maximum

V- Introduction à la théorie spectrale des problèmes aux limites elliptiques

Mode d’évaluation :   40% travail continu, 60% examen 

Références :

– H. BREZIS, Analyse fonctionnelle théorie et applications, Masson, Paris (1983).

– L.C.  EVANS: Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, vol. 19,

American Mathematical Society, Providence, Rhode Island (1998)

 – P.-A. RAVIART &  J. M. THOMAS, Introduction à l’analyse numérique des équations

aux dérivées partielles. Masson, Paris (1983).

Intitulé du Master :    Mathématiques appliquées

Semestre :   S3          

Intitulé du la matière:   Processus aléatoires et fiabilité des systèmes

Unité d’enseignement : Fondamentale

Crédits :       6

Coefficient : 3

Objectifs de l’enseignement

Cette matière permettra aux étudiants  de réunir des connaissances sur la théorie des processus aléatoires et leurs applications et  la fiabilité des systèmes.

Connaissances préalables recommandées

Avoir acquis les matières  de probabilités de la licence mathématiques et master 1. 

Contenu de la matière :

Chapitre 1 : Processus Aléatoires

1. Généralités sur les processus Aléatoires
   1. Processus de naissance et de mort

1.3 Chaines de Markov à temps discret

1.3.1  Définition et propriétés.

1.3.2  Chaine trace, classification des états.

1.3.3 Probabilités invariantes,  réversibilité

1.3.4 Chaines irréductibles, chaines apériodiques.

1.3.5 Théorème ergodique.

Chapitre 2 : Introduction à la fiabilité

• Mesures  de performances
  • Taux de hasard, de défaillance, de réparation
    • Les formules de base
    • Taux de défaillance monotone
    • Loi NBU
    • Deux familles de lois classiques en fiabilité
    • Généralisation de la notion de taux de hasard.

Chapitre3:  Fiabilité des systèmes Cohérents

3.1  Propriétés des systèmes cohérents

3.2 Formule et encadrement de la fiabilité des systèmes

Mode d’évaluation : 40% travail continu, 60% Examen.

Références    (Livres et polycopiés,  sites Internet, etc.).

1.  Bon, J.-L., 1995. Fiabilité des systèmes. Méthodes mathématiques. Masson, Paris.
2. Cocozza-Thivent C., Processus stochastiques et fiabilité des systèmes, Springer, 1997.

Intitulé du Master :    Mathématiques appliquées

Semestre :   S3          

Intitulé du la matière:   Théorie  du  contrôle

Unité d’enseignement : Méthodologie

Crédits :       4

Coefficient : 2

Objectifs de l’enseignement 

Cette matière permettra aux étudiants  de réunir quelques connaissances sur la théorie de contrôle (contrôlabilité et observabilité)

Connaissances préalables recommandées

Avoir acquis les matières d’analyse   de la licence de mathématiques fondamentales 

 Contenu de la matière : 

 Chapitre 1: Contrôlabilité et observabilité en dimension finie

• Contrôlabilité

Définitions,  Opérateur de contrôlabilité,

Gramien de contrôlabilité. Caractérisations de la contrôlabilité.

Contrôle optimal. Caractérisation.

• Observabilité

Définitions, Opérateur de l’observabilité,

Gramien de l’observabilité, Inégalité de .l’observabilité.

Contrôlabilité et inégalité de l’observabilité

Critère de Kalman.

Chapitre 2: Stabilisation en dimension finie

Définitions : stabilisation forte, stabilisation exponentielle, stabilisation faible.

Equivalence entre les trois notions en dimension finie.

Critère de stabilisation en dimension finie.

Chapitre 3: Introduction à  la théorie des semi groupes.

Motivations.

Définitions et propriétés.

Générateur infinitésimal, propriétés.

Mode d.évaluation: 40% travail continu, 60% Examen.

Références: (Livres, Polycopiés, Sites internet, etc …).