Nom du programme Master en Mathématiques appliquées 

Intitulé du Master :    Mathématiques appliquées

Semestre :   S2          

Intitulé de la matière:   Analyse Fonctionnelle 2

Unité d’enseignement : Fondamentale

Crédits :       6

Coefficient : 3

Objectifs de l’enseignement : Faisant suite au cours d’Analyse fonctionnelle 1, le présent cours traite essentiellement de la théorie des opérateurs linéaires compacts auto-adjoints et leurs propriétés spectrales et présente une introduction à l’analyse fonctionnelle non linéaire avec quelques exemples d’application aux équations différentielles, intégrales et abstraites. On y trouve à la fois les aspects « abstraits » et « concrets » des concepts et résultats traités.

Connaissances préalables recommandées : Introduction à l’analyse hilbertienne, Analyse fonctionnelle 1.

Contenu de la matière :

Chapitre 1.   Espaces de Hilbert

1.1 Propriétés élémentaires et exemples

1.2 Projection orthogonale

1.3 Familles orthonormales, bases hilbertiennes

1.4 Théorème de Représentation de Riesz, dual d’un espace de Hilbert

Chapitre 2.   Opérateurs linéaires sur des espaces de Hilbert

2.1 Adjoint d’un opérateur linéaire borné

2.2 Opérateurs bornés auto-adjoints, normaux, unitaires et propriétés spectrales

2.3 Opérateur adjoint d’un opérateur linéaire non borné

Chapitre 3.   Opérateurs linéaires compacts

3.1 Définition et exemples d’opérateurs linéaires compacts

3.2 Alternative de Fredholm

3.3 Propriétés spectrales d’un opérateur compact

3.4 Opérateurs auto-adjoints compacts

3.5 Application à la résolution d’équations intégrales linéaires

Chapitre 4.   Théorèmes de points fixes des opérateurs non linéaires et applications

4.1 Principe de l’application contractante

                        4.1.1 Points fixes d’un opérateur non linéaire

                        4.1.2 Principe de l’application contractante

                        4.1.3 Application à la résolution du problème de Cauchy pour une équation différentielle non linéaire dans un espace de Banach

4.2 Principe de Schauder

                        4.2.1 Théorème du point fixe de Brouwer

                        4.2.2 Opérateurs compacts non linéaires et leurs approximations

                        4.2.3 Principe du point fixe de Schauder

                        4.2.4 Application à la résolution de problèmes aux limites et d’équations intégrales non linéaires

                        4.2.5 Quelques théorèmes de points fixes découlant du principe de Schauder.

Chapitre 5.   Les opérateurs monotones et les inéquations variationnelles

5.1 Opérateurs monotones, définitions et premières propriétés
5.2 Opérateurs pseudo-monotones
5.4 Inéquations variationnelles

Mode d’évaluation: Contrôle continu (40%), Examen (60%)

Références:

1. V. Hutson, J.S. Pym and M.J. Cloud, Applications of Functional Analysis and Operator Theory, Elsevier Science, 2005.

2. V. Trénoguine, Analyse Fonctionnelle, Editions Mir, 1985.

3. H. Brezis, Analyse Fonctionnelle Théorie et Applications, Dunod, 2005

4. A. Bressan, Lecture Notes on Functional Analysis With Applications to Linear Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2012

5. B. Rynne, M.A. Youngson, Linear Functional Analysis, Springer, 2008

6. E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley & Sons, 1978.

7. N. El Hage Hassan, Topologie générale et Espaces normés, Dunod, 2011.

8. A. Kolmogorov, S. Fomine, Eléments de la théorie des fonctions et de l’analyse fonctionnelle, Editions Mir, 1973.

9. D. Kinderlehrer, G. Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities and their Applications, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1987

10. H. Le Dret, Équations aux dérivées partielles elliptiques non linéaires, Springer, 2013

11. R. E. Showalter, Monotone operators in Banach space and nonlinear PDFs, AMS, 1996

12. E. Zeidler, Nonlinear functional analysis, Vol. 2,  Part B., Springer, 1990.

Intitulé du Master :    Mathématiques appliquées

Semestre :   S2         

Intitulé de la matière:   Statistique inférentielle

Unité d’enseignement : Fondamentale

Crédits :       6

Coefficient : 3

Objectifs de l’enseignement (Décrire ce que l’étudiant est censé avoir acquis comme compétences après le succès à cette matière – maximum 3 lignes).  

Cette matière permettra aux étudiants  de réunir des connaissances sur la statistique mathématique (Estimation et tests d’hypothèses)

Connaissances préalables recommandées (descriptif succinct des connaissances requises pour pouvoir suivre cet enseignement – Maximum 2 lignes).

Avoir acquis les matières de probabilités et statistique de la licence mathématiques et master 1. 

Contenu de la matière :

Chapitre 1: Structures statistiques

–     Structures dominées

• Notion de statistiques
• Fonction de vraisemblance. Information de Fisher et de Kullback.
• Inégalité de Cramer-Rao 
• Exhaustivité  et liberté

Chapitre 2: L’inférence statistique 

–     Notions de stratégie et règles de décision

• Echantillonage : généralités sur l’échantillonage. Etude  de quelques statistiques et comportement asymptotique des échantillons. Les statistiques d’ordre.

Chapitre 3 : Estimation  et tests  

• Estimation ponctuelle et estimation ensembliste : définition et propriétés , estimateurs sans biais ; consistance et efficacité des estimateurs.
• Méthodes d’estimation et comportement asymptotique : méthode de vraisemblance, méthode des moments, intervalles de confiance.

     -Généralités sur les tests d’hypothèses

     – Lemme de Neyman-pearson

Mode d’évaluation : 40% travail continu, 60% Examen.

Références    (Livres et polycopiés,  sites internet, etc.).

Intitulé du Master :    Mathématiques appliquées

Semestre :   S2          

Intitulé de la matière:   Optimisation avec contraintes

Unité d’enseignement : Méthodologie

Crédits :       5

Coefficient : 2

Objectifs de l’enseignement :

Ce cours traite  de la résolution des problèmes d’optimisation formulés sous la forme des contraintes. Il vise à donner à l’étudiant les outils nécessaires pour résoudre un problème d’optimisation sous un certain nombre de contraintes.

Connaissances préalables recommandées :

Cours d’analyse numérique, topologie et optimisation sans contraintes

Contenu de la matière

Chapitre 1

Généralités

1.1 Rappels et notations de calcul différentiel

1.2 Notion de convexité

1.3 Conditions d’optimalité

1.4 Résultats d’existence et d’unicité

Chapitre  2

 Minimisation avec contraintes

2.1 Introduction

2.2 Cas des contraintes d’égalités

   2.2.1 Multiplicateurs de Lagrange

2.3 Cas des contraintes d’inégalités

   2.3.1 Les Conditions de Karush-Kuhn-Tucker (KKT)

Chapitre  3

Quelques méthodes d’optimisation

3.1 Introduction

3.2 Les algorithmes sous contraintes

   3.2.1 Méthode d’Uzawa

   3.2.2 Méthode du Gradient projeté

Mode d’évaluation : 40% travail continu, 60% Examen.

Références :

1.  Robert M. Freund, Optimality Conditions for Constrained Optimization Problems, Massachusetts Institute of Technology (2004).

2. G. Ciarlet, Introduction a l’analyse numérique matricielle et a l’optimisation,

Masson, Paris, (1985).

3. J.C. Culioli, Introduction a l’optimisation, Ellipses (1994).

4. Laurent Guillopé, Optimisation sous contrainte, Université de Nantes (2015)

5. www.univ-oeb.dz/images/documentation/Cours/mi/optimisation_hamaizia.pdf