Nom du programme Master en Mathématiques appliquées
Programme détaillé par matière
Intitulé du Master : Mathématiques appliquées
Semestre : S1
Intitulé de l’UE : Fondamentale
Intitulé de la matière : Complément de la théorie des probabilités
Crédits : 6
Coefficients : 3
Objectifs de l’enseignement
Cette matière permettra aux étudiants de compléter leurs connaissances en théorie des probabilités.
Connaissances préalables recommandées
Avoir acquis les matières de probabilité et de la théorie de la mesure de la licence de mathématiques fondamentales.
Contenu de la matière :
Chapitre 1 : Vecteurs aléatoires
- Lois de probabilité d’un vecteur aléatoire
- Matrice de covariance
- Inégalités sur les variables aléatoires (Markov, Bienayme- Chebishev et autres …)
- Indépendance des variables aléatoires
- Vecteurs aléatoires Gaussiens.
- Espérance conditionnelle
Chapitre 2 : Convergence des suites de v. a
- Convergence en loi
- Convergence presque sure
- Convergence en probabilité.
- Convergence en moyenne d’ordre p.
Chapitre 3 : Fonctions caractéristiques et fonctions génératrices.
I- Fonctions caractéristiques
– Fonction caractéristique de la somme de v.a indépendantes
– Formule d’inversion
– Fonction caractéristique et moments.
II- Fonctions génératrices
– Fonction génératrice de la somme de v.a indépendantes
– Fonction génératrice et moments.
Mode d’évaluation : 40% travail continu et 60% Examen
Références (Livres et polycopiés, sites internet, etc.).
- M. Métivier, « Notions fondamentales de la théorie des probabilités » 2eme édition DUNOD Paris 1972.
- JP Ansel et Y. Ducel, « Exercices corrigés en théorie des probabilités » 2 cycle universitaire ellipses.
- M Cottrell et al , «exercices de probabilités » licence, master, écoles d’ingénieurs. CASSINI.
Intitulé du Master : Mathématiques appliquées
Semestre : S1
Intitulé de la matière : Analyse fonctionnelle 1
Unité d’enseignement : Fondamentale
Crédits : 6
Coefficient : 3
Objectifs de l’enseignement : Ce cours de Master présente les bases de l’Analyse fonctionnelle linéaire sous une forme sensiblement plus élaborée que celle du niveau d’un cours de Licence. Tout en restant dans des limites raisonnables, on a cherché à donner le panorama le plus large possible à ce niveau. Ceci permettra aux étudiants de compléter et d’approfondir leurs connaissances en analyse fonctionnelle. L’accent est mis sur les aspects “abstraits”utiles tant aux étudiants intéressés par les “Mathématiques Pures” qu’à ceux qui désirent s’orienter vers les “Mathématiques appliquées”.
Connaissances préalables recommandées : Algèbre 2, Introduction à la topologie.
Contenu de la matière :
Chapitre 1. Espaces de Banach
1.1 Espaces vectoriels normés
1.2 Espaces de Banach
1.3 Etude de quelques exemples fondamentaux :
1.3.1 Espaces de fonctions bornées et sous-espaces remarquables .
1.3.2 Espaces de fonctions régulières.
1.4 Espaces de fonctions continues .
1.4.1 Convergence simple et convergence uniforme d’une suite de fonctions
1.4.2 Equicontinuité et théorème de compacité d’Ascoli-Arzelà
1.4.3 Théorème d’approximation de Stone-Weierstrass et applications
Chapitre 2. Théorie des opérateurs linéaires : Concepts et résultats de base
2.1 Terminologie de base de la théorie des opérateurs
2.2 Opérateurs linéaires continus, opérateurs linéaires bornés
2.3 Espace des opérateurs linéaires bornés :
2.4 Quelques propriétés fondamentales des opérateurs linéaires bornés :
2.4.1 Théorème de Banach-Steinhaus et ses conséquences,
2.4.2 Théorème de l’application ouvertes et du graphe fermé.
2.5 Opérateurs inverses et applications à la résolution de l’équation.
2.6 Introduction à la théorie spectrale des opérateurs linéaires
2.7 Opérateurs fermés et application aux équations différentielles.
Chapitre 3. Dualité et opérateurs adjoints
3.1 Dual d’un espace normé, exemples fondamentaux .
3.2 Théorème de Hahn-Banach et ses corollaires
3.3 Bidual, espaces réflexifs
3.4 Convergence faible et compacité faible
3.5 Opérateur adjoint (transposé) d’un opérateur linéaire borné
Mode d’évaluation: Contrôle continu (40%), Examen (60%)
Références:
1. V. Hutson, J.S. Pym and M.J. Cloud, Applications of Functional Analysis and Operator Theory, Elsevier Science, 2005.
2. V. Trénoguine, Analyse Fonctionnelle, Editions Mir, 1985.
3. H. Brezis, Analyse Fonctionnelle Théorie et Applications, Dunod, 2005
4. A. Bressan, Lecture Notes on Functional Analysis With Applications to Linear Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2012
5. B. Rynne, M.A. Youngson, Linear Functional Analysis, Springer, 2008
6. E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley & Sons, 1978.
7. N. El Hage Hassan, Topologie générale et Espaces normés, Dunod, 2011.